قانون متساويات

[عدل] قوانين المتساويات
إذا كان و إذن
إذا كان إذن

[عدل] قوانين أخرى
إذا كان و إذن
إذا كان إذن لأى رقم
إذا كان و إذن
إذا كان إذن لأى رقم
إذا وجد متغيرين متساويين يمكن استبدال أحدهما بما يساويه الآخر.
إذا كان و إذن
إذا كان إذن لأى رقم
إذا كان و اذن
إذا كان و إذن

[عدل] المعادلات الخطية في متغير واحد
تعد المعادلة الخطية في مجهول واحد أبسط المعادلات على الإطلاق فهي تتكون من متغير واحد وبعض الثوابت العددية.


الطريقة الأساسية لحل هذه المعادلة هي تطبيق العمليات الأساسية من جمع وطرح وضرب وقسمة على طرفي المعادلة لنحصل على المتغير في جانب والثوابت في الجانب الآخر. فثلا


لتتبسط إلى


والآن نقسم الطرفين على


ويتم تبسيطها إلى


الحالة العامة للمعادلات الخطية من الدرجة الأولى في متغير واحد هي كالتالى


حيث هو المتغير و هم ثوابت عددية.

والحل العام لهذه المعادلة يكون



[عدل] أنظمة المعادلات الخطية
تسمى مجموعة من معادلات الخطية بالنظام. فمثلا معادلتين في متغيرين و


يدعى نظام معادلات خطى في متغيرين. توجد طرق حل كثيرة لإيجاد قيم و التي تحقق المعادلتين المعرفتين للنظام منها الجبرى والهندسى.


[عدل] إيجاد الحل بالعمليات على المعادلات
بضرب طرفى المعادلة الثانية في 2.



بجمع المعادلتين نجد


ومنها


وبالتعويض في أي من معادلتى النظام يمكن استنتاج



[عدل] إيجاد الحل بالتعويض
يعتمد هذا الحل على التعويض بالمعادلة المعبرة عن لاستنتاج قيمة ومن ثم التعويض بقيمة المستنتجة لإيجاد قيمة .

بطرح من طرفى المعادلة الثانية نجصل على


ويتم تبسيطها إلى


وبضرب طرفى الأخيرة في نحصل على


وبالتعويض بما يساوى في المعادلة الأولى في النظام




وبجمع لطرفى هذه المعادلة نحصل على

ومنها بالقسمة على تكون

وبالتعويض بقيمة في أي من معادلتى النظام تكون



[عدل] حالات خاصة من أنظمة المعادلات الخطية
في المثال السابق تمكننا من إيجاد حل يحقق المعادلات الموصفة للنظام. ولكن توجد أنظمة أخرى ليس لها حلول إما لأنها غير قابلة للحل أو غير محددة.


[عدل] أنظمة غير قابلة للحل
يعد المثال التالي أبسط الأمثلة على للأنظمة غير قابلة للحل


وذلك بسبب أن المعادلة الثانية ليس لها حل.

هناك أنظمة أخرى مثل


عند إيجاد حل لهذا النظام نجد


وبالتعويض




تلاشت كل المتغيرات والمتساوية الأخيرة غير صحيحة. إذا نتج عن هذا التعويض متساوية صحيحة يكون هذا النظام غير محدد.


[عدل] أنظمة غير محددة
في المثال التالي


بعزل يكون


و بالتعويض




تلاشت كل المتغيرات والمتساوية الأخيرة صحيحة. السبب الرئيسى في عدم وجود حلول محددة لهذا النظام هو أن أحد المعادلتين يساوى الأخرى مضروبة في ثابت. وتدعى هذه المعادلات متوازية